平面基本知识
一、向量知识向量计算：
（1） 叫做向量。
（2）向量的：
运算 定义 或 法则 运算性质（运算律） 坐标运算
加 法
减 法
实数与向量的积
数量积
几何意义：
（3）平面向量的基本定理：
如果 和 是同一平面内的两个不共线的向量，那么
。
（4）两个向量平行和垂直的充要条件：
；
‖ ；
（5）夹角、模、距离等计算：
夹角： 与 的夹角
模： | ＋ |＝ | － |＝
| ＋ ＋ |＝
模| |＝ 两点距离公式：|P P |＝ 向量| |=
计算：求与 ＝(a，b)共线的单位向量
（6）线段的定比分点坐标公式：
设 ，且 ，则
时，得中点坐标公式： 可推出三角形重心坐标公式：
（7）平移公式
点 按 平移到 ，则
点 点P(a,b) 点
曲线y＝ 曲线y＝f(x) 曲线y＝
二、解斜三角形
（1）正弦定理： = =
（2）余弦定理：
（3）S ＝ ＝ ＝
（4）解三角形的几种类型及步骤：
①已知两角一边： 先用 →再用 。
②已知两边及夹角：先用 →再用 。
③已知两边及一边对角：先用 （注意：解；内角和）
→再用 。
④已知三边：先用 →再用 。
（5）解应用问题的一般步骤：① → ② → ③ → ④
9.平面向量
(1)平面向量基本定理，如果e1、e2是同一平面内非共线向量，那么该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.
①两个向量平行的充要条件
a∥b⇔a＝λb
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
a∥b＝x1x2－y1y2＝0
②两个非零向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
a⊥b＝x1x2＋y1y2＝0
θ＝〈a，b〉.
cosθ＝x1x2＋y1y2/x21＋y21
x22＋y22
(2)数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉＝θ
①a·e＝e·a＝|a|cosθ；②当a，b同向时，a·b＝|a||b|，特别地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔a·b＝0；④非零向量a，b夹角θ的计算公式：cosθ＝，当θ为锐角时，a·b＞0，且ab不同向，a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且ab不反向，a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件；⑤|a·b|≤|a||b|.
设a=（x，y），b=(x’，y’)。
加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法
OB+OA=OC。
a+b=(x+x’，y+y’)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被
向量的减法
减”a=(x,y)b=(x’,y’) 则a-b=(x-x’,y-y’).如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；
向量的数乘
当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2]需要注意的是：向量的运算满足实数加减乘除运算法则。数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x’+y·y’。向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。3．|a·b|与|a|·|b|不等价4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。向量积定义：两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b平行，则a×b=0，a、b垂直，则a×b=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意）。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。运算法则：运用三阶行列式设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量A=(x1,y1,z1)B=（x1,y1,z1）则A*B=a b cx1 y1 z1x1 y1 z1向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a平行b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=－b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×b+a×c.（a+b）×c=a×c+b×c.上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。