答欧拉:欧拉(1707-1783),数学中的一个超级明星,他的贡献几乎涉及数学的所有基础领域,尤其是欧拉那非凡的数学技巧,让人叹为观止,至今无人能超越。
数学界的三大高峰:欧拉、高斯和黎曼。其中,欧拉的数学技巧无与伦比;高斯的数学才能绝无仅有;而黎曼的数学灵感,足够让其他忙碌几百年。
我来举几个欧拉的例子:
一、欧拉那超凡的心算能力有一次,欧拉的两个学生,对一个复杂级数求和的第五十多位起了争执,然后欧拉仅凭心算,就判断了谁对谁错。
上面一个例子,如何你怀疑真实性,那么下面一个,是世界公认的:
在没有计算机的年代,梅森素数的寻找是相当困难的,在1588年意大利数学家卡塔尔迪(1548-1626),找到了第六个和第七个梅森素数M17和M19之后,两百多年没有任何进展;直到 1772年,欧拉在双目失明的情况下,仅靠心算得到了第八个梅森素数M31,是当时世界上已知的最大素数。这里绝不仅仅像“某某大脑”里面,一些只会速算的人,欧拉那超凡的心算能力,只不过是他众多才能中一个而已,相对于他的数学才能,心算能力只是辅助。
二、当之无愧的数学英雄
1735年,天文学家遇到一个棘手的天文学问题,几个月都得不到解决;直到他们去请教欧拉,欧拉专研了三天,把这个问题解决了。
不过也因此右眼恶化,最终失明。这时候,欧拉才28岁。
三、数学能力欧拉的老师,也是一位大名鼎鼎的数学家——约翰·伯努利。约翰·伯努利有两个儿子,也是著名的科学家——哥哥:尼古拉斯·伯努利;弟弟:丹尼尔·伯努利。
在1722年,哥德巴赫意识到,阶乘函数(n!) 或许可以延拓到整个实数域,但是他无法得到延拓后的函数,于是他写信给伯努利兄弟,也没有得到解决。
因为欧拉和伯努利家族联系紧密,所以欧拉也得知了这个问题,欧拉使用丹尼尔·伯努利发明的无穷插值法,完美地得到了阶乘函数全实数表达式——即伽玛函数。
此时的欧拉,只有22岁,也是这时,欧拉结识了哥德巴赫,并和他成为一生的好友。
四、一举成名前面的例子,虽然让欧拉名声鹊起,但是最终让欧拉登上世界舞台的,是一个世纪难题的解决——巴塞尔级数问题。
巴塞尔级数(1+1/4+1/9+1/16+1/25+……=?),在1650年被提出,期间无数数学家研究过,都没有得到解决,举个例子:
莱布尼兹厉害吧!微积分的发明者之一,我们现在学习沿用的微积分概念基本,就是莱布尼茨发明的,他对级数的操控,几乎可以说是随心应手,甚至对他的朋友惠更斯宣称:对于任何收敛的无穷级数,只要其中各项遵循一定规律,那么我就能求出和来。然后1673年,莱布尼茨遇到了英国数学家佩尔(1611-1685),佩尔用巴塞尔级数,一下就把这个血气方刚的莱布尼茨镇住了,莱布尼茨苦思一整天,最终不得不认输!
可是在1734年,27岁的欧拉,突然就把这个问题解决了:
而欧拉使用的方法非常巧妙,仅仅用到了简单的两个数学知识,简单到一位数学不错的中学生都能看懂,相当于:这个级数展开很初等吧!这个根与系数的关系是初中知识吧!唉——合起来,这个世界难题就解决了!
如果莱布尼兹还在的话,看到这个证明,不知道他会作何感受!
五、超凡的贡献欧拉是最多产的数学家之一,而且基本都是高质量的数学成果。
在1909年,瑞士自然科学联合会,开始着手收集欧拉的手稿和论文,刚开始预计要60-80卷才能将其收录,这项工作由全世界许多个人和团体资助下进行,不过他们后来在圣彼得堡又发现欧拉的大量手稿,导致原先的预算经费不够而临时终止。
而且这些资料,将近一半都是欧拉在双目失明下仅凭心算和口述,然后他的大儿子笔录完成才得以留下来的。
最终整理欧拉的著作,圣彼得堡科学院花了整整四十七年。
六、失明的欧拉1766年,欧拉双眼完全失明;在1771年,彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,有幸的是欧拉被人及时救出,可是他前半生的著作,几乎全部化为灰烬,但是欧拉并未灰心。
在接下来的十多年里,双眼彻底失明的欧拉,由他口述,他大儿子笔录的方式,重新写下了被大火夺走的数学研究,而且他一生超过一半的数学著作,都是在他双目失明后创作的!
七、非凡的人格魅力欧拉的人格魅力是令人敬佩的,以至于得到皇室无偿的资金支持,比如在大火后,女皇无偿地补偿了欧拉的经济损失。
欧拉有位学生,也是大名鼎鼎的数学家——拉格朗日。
拉格朗日利用变分法,解决了等周问题,然后请教他的老师欧拉,欧拉给与了高度赞扬,并在1759年10月2日的回信中,鼓励他把这个发现发表出来。
其实,这时的欧拉,已经研究这个问题很久了,并得到了这个问题的完美解法,但他还是非常谦让地,把这个发现让给了拉格朗日,使得拉格朗日赢得了巨大的声誉,后来欧拉发现拉格朗日的证明方法和自己的不一样,所以欧拉才把他的发现方法公布出来。
八、物理学的意外发现超弦理论是目前非常前沿的理论,然而他的起源离不开欧拉,在1969年,物理学家Gabriele Veneziano,在欧拉的一本著作中,注意到了一个函数(欧拉B函数),可以用来描述强作用力。
后来物理学家Leonard Susskind发现,这一函数延伸出来的物理图像,是”可扭曲有弹性的线段”,并在后来发展成了”超弦理论”。
这样的例子数不胜数,比如还有:所有自然数之和在量子力学中的应用,素数的欧拉乘积式,复变函数的欧拉公式,调和级数的欧拉常数,自然对数也叫欧拉常数,三角函数的定义,流体力学的欧拉方程,天文学天体轨道的数值计算,数论中的欧拉公式,拓扑学欧拉方程等等。
每个贡献都是非凡的,随便拿一个出来,都可以让另外一位数学家名留青史,然而,这些都是欧拉一个人的贡献。
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