∫
=xarcsinx-∫x/√(1-x^2)dx
=xarcsinx+∫1/√(1-x^2)d(1-x^2)
=xarcsinx+2√(1-x^2)+C
反三角函数的三角函数通过考虑直角三角形的几何形状，其长度为1的一侧，长度x的另一侧（0和1之间的任何实数），然后应用勾股定理和三角比arcsinx的积分。
扩展资料：
若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。
参考资料来源：百度百科–反正弦函数
参考资料来源：百度百科–积分公式
∫(arcsinx)2dx
= x(arcsinx)² – ∫xd(arcsinx)²
= x(arcsinx)² – ∫2xarcsinx*1/√(1-x²)dx
= x(arcsinx)² +∫arcsinx*1/√(1-x²)d(1-x²)
= x(arcsinx)² +2∫arcsinx*1/2√(1-x²)d(1-x²)
= x(arcsinx)² +2∫arcsinxd√(1-x²)
= x(arcsinx)² +2arcsinx*√(1-x²)-2∫√(1-x²)darcsinx
= x(arcsinx)² +2arcsinx*√(1-x²)-2∫√(1-x²)*1/√(1-x²)dx
= x(arcsinx)² +2arcsinx*√(1-x²)-2∫dx
= x(arcsinx)² +2arcsinx*√(1-x²)-2x+C
换元法：令arcsinx=u，则x=sinu，dx=cosudu
原式=∫ u²cosu du
=∫ u² dsinu
分部积分
=u²sinu – 2∫ usinu du
=u²sinu + 2∫ u dcosu
第二次分部积分
=u²sinu + 2ucosu – 2∫ cosu du
=u²sinu + 2ucosu – 2sinu + c
=xarcsin²x + 2√(1-x²)arcsinx – 2x + c
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