形如通解：
F(x, y, y’) = 0 ①
的方程，被称为一阶，其中 x 是自变量，y 是 x 的未知函数，y’ 是 y 的导函数。
如果 函数 y = φ(x) 使得，
F(x, φ(x), φ'(x)) = 0
则称 该函数 为 ① 的一个解。
将 y’ 从 ① 中 提取出来，表示为：
y’ = f(x, y)
被称为 解出导函数的微分方程。
进而，如果 f(x, y) = p(x)y + q(x)，则 方程 变成：
y’ = p(x)y + q(x) ②
被称为 一阶微分方程。令 q(x) = 0 ，得到方程：
y’ = p(x)y ②’
被称为 一阶齐次线性微分方程，而 ② 被称为 一阶非齐次线性微分方程。
为什么 ②’ 叫做 齐次，而 ② 不是 呢？
齐次：多项式各项 的未知元 次数 相同。
因为 ②’ 各项 y’ 和 p(x)y 中，未知函数 y 的 次数 都是 1，即，各项未知元次数平齐；而 ② 的项 q(x) = q(x)y⁰ 中 y 的次数 是 0，不同与 另外 两项 中 y 的次数 1 ，即，各项未知元次数不平齐。
对于，一阶齐次线性微分方程，有，
等式两边关于 x 积分，有，
再令，c = ±eᒼ ，最终得到 齐次方程通解：
由 常数 C 是任意实数，得到 常数 c 是不等 0 的 任意实数，而 c = 0 时，y = 0 ，因 y’ = 0 = p(x) 0 = p(x)y， 是方程的 解，故 常数 c 同样为 任意实数。
将 齐次方程通解 中的 常数 c 变异为 x 的函数 c(x)，得到：
再代入 非齐次方程 ② 有，
结果，代入前面等式， 再将 C 改为 c，最终得到 非齐次方程通解：
以上，求解 非齐次方程 通解 的方法，称为 常数变异法。
有些 微分方程 虽然表面上看，不是 一阶线性微分方程，但其实 都是 ② 中 y 被换元 的结果。例如，令，
代入 ② 有，
令，P(x) = p(x) / (1- n), Q(x) = q(x) / (1-n)，得到：
这被称为，伯努利微分方程。我们只需要求出 对应的 一阶线性微分方程：
的通解：
就可以得到 伯努利微分方程 的通解：
解出导函数的微分方程 中 如果 令 f(x, y) = -P(x, y) / Q(x, y)，并将 y’ 表示为 微分形式 dy/dx 则方程变形为：
dy/dx = -P(x, y) / Q(x, y)
即，
P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0 ③
若，存在 函数 u(x, y) 使得，
P(x, y) = ∂u(x, y) /∂x , Q(x, y) = ∂u(x, y) /∂y
则，根据 全微分，有，
d u(x, y) = (∂u(x, y)/∂x) dx + (∂u(x, y) /∂y) d y = P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0
等式两边 关于 u 积分 得到：
∫ d u(x, y) = ∫ 0 d u
即，
u(x, y) = c
规定 u 有 连续偏导数，则 根据隐函数定理，解 y = φ(x) 存在。
由前面的要求，有：
∂P(x, y)/∂y = ∂²u(x, y) /∂x∂y = ∂²u(x, y) /∂y∂x = Q(x, y)/∂x
即，
∂P/∂y = ∂Q/∂x
称满足上面 恰当条件的 微分方程 ③ 为 恰当微分方程。
有时候，微分方程 ③ 不满足 恰当条件，我们可以 在等式 两边 乘以 积分因子 μ(x, y)，得到：
μ(x, y)P(x, y) dx + μ(x, y)Q(x,y) dy = 0 ③’
这时 恰当条件 变为：
∂(μP)/∂y = ∂(μQ)/∂x
P∂(μ)/∂y + μ∂P/∂y = Q∂μ/∂x + μ∂Q/∂y
整理，得到：
P∂(μ)/∂y – Q∂μ/∂x = (∂Q/∂y – ∂P/∂y)μ
这是一个偏微分方程，从中 解出 μ 再代回 ③’ 寻找 全微分 求解。
一阶线性微分方程 ② 可以变形为：
-(p(x)y + q(x)) dx + dy = 0
令，P(x, y) = -(p(x)y + q(x)), Q(x, y) = 1 就变成 了 ③ 的形式，但，
∂P/∂y = -p(x) ≠ 0 = ∂Q/∂x
于是，我们需要添加 积分因子，
μ = e^{-∫ p(x) d x}
这样以来，需要求解的方程为，
-e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x)) dx + e^{-∫ p(x) d x}dy = 0
满足，条件：
∂(μP)/∂y = -e^{-∫ p(x) d x}p(x) = ∂(μQ)/∂x
又，因为，
∂u/∂x = -q(x) e^{-∫ p(x) d x} – p(x)e^{-∫ p(x) dx}y = -e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x))
∂u/∂y = e^{-∫ p(x) dx}
所以 u(x, y) 就是 需要求解的方程 的 解。从 u(x, y) 其中 解出 y 与前面的 结果完全一致。
一阶非齐次线性方程的通解，可以变形为：
其中， ỹ 就是 对应 齐次方程的通解，而 y₀ 为 一个非齐次方程 的特解，也就是说：
一阶非齐次线性方程的通解 为 非齐次的一个特解 与 齐次的通解 之和。
注：可以证明，这个结论，对于高阶非齐次线性方程 同样适用。
再回看前面 常数变异法 发现 中间步骤，
如果，令，
则，得到方程 ④：
从中，可以求得 c'(x)，于是，一阶非齐次线性方程的通解为：
其中，ỹ₀ 是一阶齐次线性方程的特解。
也是时说，我们只要求得 一阶齐次线性方程的一个特解 ỹ₀，然后 从 方程 ④’ 求出 待定函数 c'(x) 就可以 一阶非齐次线性方程的通解了。通解 ỹ = cỹ₀ 其实 是 ỹ₀ 的线性组合。
也是时说，我们只要求得 一阶齐次线性方程的一个特解 ỹ₀，然后 从 方程 ④’ 求出 待定函数 c'(x) 就可以 一阶非齐次线性方程的通解了。
注：这个求解过程，可以推广到 高阶非齐次线性方程。
例如，当 一阶线性非齐次方程 中 p(x) = -a 和 q(x) = b 是常数时，相应方程，
y’ + ay = b
被称为 一阶常系数微分方程，其 对应齐次常系数微分方程，
y’ + ay = 0
的特解为
ỹ₀ = e⁻ᵃˣ
由方程 ④ ，求得：
c'(x) = b/ỹ₀
于是，最终得到 一阶常系数微分方程 的通解为：
y = ỹ₀∫ b/ỹ₀ dx + cỹ₀ = e⁻ᵃˣ∫ beᵃˣ dx + ce⁻ᵃˣ = ce⁻ᵃˣ + b/a
一阶线性微分方程 既是 一阶微分方程 又是 线性微分方程，因此从中 可以看出 两种理论的 影子，由于篇幅有限，也害怕跑题太远，这里并没有 展开 这些精彩的理论，以后有机会再说！
(补充：2020/4/18)
为什么 ② 被称为 线性呢？
线性来自于，② 的齐次方程 对应的 算子：
F(y) = y’ – p(x)y
可以保持 函数的 线性运算，即，
保持加法： F(y + z = (y + z)’ – p(x)(y + z) = y’ + z’ – p(x)y – p(x)z = y’ – p(x)y + z’ – p(x)z = F(y) + F(z)
保持数乘：F(cy) = (cy)’ – p(x)(cy) = cy’ – cp(x)y = c(y’ – p(x)y) = cF(y)
其中，y, z 都是任意可微函数，c 是常数。