空间中的点P(u,v,w)关于L: (x-a)/m = (y-b)/n = (z-c)/p 的对称点记为点Q(X,Y,Z).
(1)确定过点P,且以向量[m,n,p]为法向量的M的平面.
m(x-u)+n(y-v)+p(z-w) = 0.
(2)确定平面M与直线L的交点R的坐标. [点R为点P和点Q的对称中点]
(x-a)/m=(y-b)/n=(z-c)/p = t,
x=mt+a, y=nt+b, z=pt+c,
0=m(mt+a-u) + n(nt+b-v) + p(pt+c-w) = t[m^2+n^2+p^2] + m(a-u)+n(b-v)+p(c-w),
t=[m(u-a)+n(v-b)+p(w-c)]/[m^2+n^2+p^2]
点R的坐标为[a+mt, b+nt, c+pt], 其中t=[m(u-a)+n(v-b)+p(w-c)]/[m^2+n^2+p^2].
(3)根据点P和点R的坐标,确定点Q的坐标.
u+X = 2(a+mt), X = 2(a+mt) – u,
v+Y = 2(b+nt), Y = 2(b+nt) – v,
w+Z = 2(c+pt), Z = 2(c+pt) – w,
空间中的点P(u,v,w)关于直线L: (x-a)/m = (y-b)/n = (z-c)/p 的对称点Q的坐标为,
[2a-u +2mt, 2b-v + 2nt, 2c-w + 2pt], 其中,t=[m(u-a)+n(v-b)+p(w-c)]/[m^2+n^2+p^2].
您好对称式：（x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n转换成“交面式”,因所选用方程的不同可以有不同的形式.由“左方程”：(x-x0)/l=(y-y0)/m=>mx-mx0=ly-ly0=>mx-ly+ly0-mx0=0同理,由“右方程”ny-mz+mz0-ny0=0则,经转换后交面式方程的各系数分别为：A1=m,B1=-l,C1=0,D1=ly0-mx0对称式方程；A2=0,B2=n,C2=-m,D2=mz0-ny0
举一个实例.把｛2x+3y-4z+2=0 ；x+2y+3z-1=0 化为对称式 .方法一：平面 2x+3y-4z+2=0 的法向量为 n1 =（2,3,-4）,平面 x+2y+3z-1=0 的法向量为 n2 =（1,2,3）,因此直线的方向向量为 v = n1×n2 =（17,-10,1）（向量叉乘会吧?）取 x = 10,y = -6,z = 1 ,知直线过点 P（10,-6,1）,所以直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 .方法二：把 z 当已知数,可解得 x = 17z-7 ,y = 4-10z ,由此得 (x+7)/17 = (y-4)/(-10) = z ,把最后的 z 改写成 (z-0)/1 ,就得结果.方法三：取 z 的两个值如 z1 = 1 ,z2 = 2,代入原方程可知直线过 A（10,-6,1）,B（27,-16,2）,所以直线的方向向量为 AB =（27-10,-16+6,2-1）=（17,-10,1）,所以直线的方程为 (x-27)/17 = (y+16)/(-10) = (z-2)/1 .
对称式由直线上一点和直线的方向向量决定
(1)先求一个交点，将z随便取值解出x和y
不妨令z=0
由x+2y=7
-2x+y=7
解得x=-7/5,y=21/5
所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点
(2)求方向向量
因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-2,1,1)
所求直线的方向向量垂直于2个法向量
由外积可求
方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)
=
i j k
1 2 -1
-2 1 1
=3i+j+5k
所以直线方向向量为(3,1,5)
因此直线对称式为(x+7/5)/3=(y-21/5)/1=z/5
在空间直角坐标系内，平面均可用三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0 表示，称为平面的一般式方程。
若平面与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，则平面方程为 x/a+y/b+z/c=1，称为平面的截距式方程。
若已知平面内一点和法线 n·MM’=0, n=(A,B,C), MM’=(x-x0,y-y0,z-z0)，则平面的点法式方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。
还可用法线式方程 xcosα+ycosβ+zcosγ=p 表示，其中 cosα、cosβ、cosγ 是平面法矢量的方向余弦，p为原点到平面的距离。
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空间直线可以视为两平面的交线，一般方程是（即两个平面方程组成的三元一次方程组）
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
对称式方程
(x – x0) / m = (y – y0) / n = (z – z0) / p
参数方程
x = x0 + mt
y = y0 + nt
z = z0 + pt