这里涉及的知识比较多，主要思想是这样的全怎么求：
1.Pdx+Qdy如果恰好是某个二元函数的全微分的话，方程的通解就能求出了（此时该方程称为全微分方程），比如，设
Pdx+Qdy＝du(x,y)
那么方程Pdx+Qdy=0的通解便为：u(x,y)=C
2.但Pdx+Qdy不一定恰好是某个函数的全微分，判断依据是：dP/dy=dQ/dx，
即：此式成立（当然在某个区域内），存在u(x,y)，如果此式不成立，则不存在u(x,y)
3.在不存在u(x,y)的情况下，可能可以通过乘以某个函数或式子，使得方程成为全微分方程，比如方程：xdy-ydx=0，通过判断知道它不是全微分方程，但如果乘以1/x^2,方程变形为：
dy/x-(y/x^2)dx=0
通过验证可知它是全微分方程，并且
dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)
4.象上例这样，乘上的函数1/x^2便称为是积分因子了，一般来说，如果微分方程通过乘以某个函数变成了全微分方程，则称此函数称为该方程的积分因子。
5.若Pdx+Qdy＝du(x,y)，则有du/dx=P,du/dy=Q
因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dQ/dx
反之亦然，这就是判断是否为全微分方程的依据。
向量空间 Rᵐ 到 Rⁿ 的 映射 L: Rᵐ → Rⁿ ，如果满足：
对于任意 λ ∈ R，x ∈ Rᵐ 有 L(λx) = λL(x)
对于任意 x, y ∈ Rᵐ 有 L(x + y) = L(x) + L(y)
则称 L 为 线性映射，当 n = 1 时称 L 为 线性函数。
为了区分，我们接下来用 A 表示 线性函数，L 依旧表示 线性映射。
对于 线性函数 A : Rᵐ → R，当 m > 1 时称 多元线性函数，当 m = 1 时，称 一元线性函数，为了方便 接下来 线性函数 特指 一元线性函数。
很显然，在平面笛卡尔直角坐标系下，过原点的直线函数：
A(x) = kx ⑴
其中 常数 k 称为斜率。
满足：
A(λx) = kλx = λ(kx) = λA(x)；
A(x + y) = k(x + y) = kx + ky = A(x) + A(y)
于是 函数 ⑴ 是线性函数。
可以验证，不过远点的 直线函数 y = ax + b，以及各种曲线函数，比如：y = x²，都不是 线性函数。
线性函数 ⑴ 可以升级到 多元形式：
A(x) = A(x₁, x₂, …, x_m) = k₁x₁ + k₂x₂ + … + k_mx_m ⑴\’
验证如下：
A(λx) = A(λx₁, λx₂, …, λx_m) = k₁λx₁ + k₂λx₂ + … + k_mλx_m = λ(k₁x₁ + k₂x₂ + … + k_mx_m) = λA(x)；
A(x + y) = A(x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, x_m + y_m) = k₁(x₁ + y₁) + k₂(x₂ + y₂) + … + k_m(x_m + y_m) = (k₁x₁ + k₂x₂ + … + k_mx_m) + (k₁y₁ + k₂y₂ + … + k_my_m) = A(x) + A(y)
定义在 E ⊆ R 上的 函数 f : E → R ，在 E 的 聚点 x ∈ E 处的 增量（关于 h 的函数）：
如果 在 x 点附近（即，h → 0 时），可以 近似的 等于 一个 线性函数 Aₓ(h) ，即，
其中，oₓ(h) 表示 h 的高价无穷小量，其满足：
则称 函数 f 在 x 点 可微，线性函数 Aₓ 称为 f 在 x 点的 微分，记为：df(x)，于是有
将 Aₓ(h) 写成 线性函数 ⑴ 的形式：
下面求 斜率 k：
由 微分定义可知：
于是，有：
启用，在 x 点附近，即，当 h → 0 时 的条件，有：
令，
称 f\'(x) 为 f 在 x 点的 导数 。于是，求得：
进而有：
考虑 函数 l(x) = x，显然有：
于是对于 函数 l(x) = x ，结合 等式 ⑵ 和 ⑶ 有 ：
而对于任意 函数 f(x)，利用上面的结果，再结合 等式 ⑵ 和 ⑶ 有：
即，
于是得到：
这就是 莱布尼兹的导数表示法，而 f\'(x) 是 拉格朗日的导数表示法。
类似的，如果 多元函数 f : E → R （E ⊆ Rᵐ ）在 E 的 聚点 x ∈ E 附近满足：
则称 多元函数 f 在 x 点 可微，多元线性函数 Aₓ : Rᵐ → R 称为 f 在 x 点的全微分，记为 df(x) ，即，
将 Aₓ(h) 写成 线性函数 ⑴\’ 的形式：
现在求 kᵢ，i = 1, 2, …, m：
令，
则有：
于是：
这和 前面 (A) 处情况完全类似，于是同理可令：
称 fₓᵢ(x) 为 f 在 x 处关于 分量 xᵢ 的偏导数。于是，求得：
进而有：
和前面类似，可以令：
于是，最终有：
我们还可以将 微分 升级到 E ⊆ Rᵐ 到 Rⁿ 的 映射 f: E → Rⁿ 中，如果 f 在 E 的 聚点 x ∈ E 附近满足：
则称 映射 f 在 x 点 可微，线性映射 Lₓ : Rᵐ → R 称为 f 在 x 点的 微分，同样记为 df(x) ，即，
映射 f 可以看成 一组线性函数：
有：
类似的 全微分，可以求得：
其中，
称为 雅克比（Jacobi） 矩阵。
最后说明：
在《高等数学》中全微分定义略有不同，其中公式写成如下形式：
但实质是一样的；
有时候 d f(x) 和 ∂ f(x) 可以简写为 d f 和 ∂ f；
函数（映射）在 某个聚点处 的 微分 就是 和 函数（映射）该点 处 变换近似的 线性函数（映射）。
（本人数学水平有限，以上答案仅供 题主 和 大家 参考，同时，出错再所难免，欢迎各位老师批评指正。）