二阶常系数非齐次线性通解公式：y’+py’+qy=f(x)。其中p微分方程的通解公式，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y”+py’+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3
解：
∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³
(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx
(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx
[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
y/(x-2)=(x-2)² C (C是积分常数)
y=(x-2)³ C(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。
举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3
解：
∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³
(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx
(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx
[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
y/(x-2)=(x-2)² C (C是积分常数)
y=(x-2)³ C(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。
扩展资料：
形如y’+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方62616964757a686964616fe78988e69d8331333431333963程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y’的次数为0或1。
对于一阶非齐次线性微分方程：
其对应齐次方程:
解为：
令C=u(x)，得:
带入原方程得：
对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：
其中C为常数，由函数的初始条件决定。
注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。
微分方程首先要分清类型，一把钥匙开一把锁。这是常系数非齐次线性方程，解法是
先求常系数齐次线性方程y”+3y’+2y=0的解，这只要解代数方程x^2+3x+2=0,x=-1,-2
齐次线性方程y”+3y’+2y=0的通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x),
再求微分方程y”+3y’+2y=6(e的x次方)的一个特解，因为e^(-x),e^(-2x)与e的x次方不同,
可设微分方程y”+3y’+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=Ae的x次方,代入y”+3y’+2y=6(e的x次方)得
A+3A+2A=6,A=1,微分方程y”+3y’+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=e的x次方,
所以所求通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x)+e的x次方.
这题是最简单的常系数非齐次线性方程。