1.周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。概念的提出的定义：将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)概念的具体化：当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。T=2kπ(k∈Z且k≠0)所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为T=2kπ(k∈Z且k≠0)展示正、余弦函数的图象。周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2所以2xT+T2=0,即T(2x+T)=0所以T=0或T=-2x强调定义中的“非零”和“常数”。例:三角函数sin(x+T)=sinxcos(x+T)=cosx中的T取2π3.最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。对于正弦函数y=sinx,自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。4.例：求下列函数的周期：（1）y=3cosx分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。）（2）y=sin(x+π/4)分析略，说明在x后面的角也不影响周期。（3）y=sin2x分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。）（4）y=cos(x/2+π/4)（分析略）（5）y=sin(ωx+φ)（分析略）结论：形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,xR)的函数的周期为T=(2π-φ)/ω参考资料：作者：卢冬宝单位：北京市延庆县第三中学个人网页
判断周期函数的方法，一般是根据定义。即对函数f（x），如果存在常数T(T≠0)，使得当x取定义域内的每一个值时，均有f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）是周期为T的周期函数【当然，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）均为其周期。 本题中，设y=xcosx=f(x),x∈R,假设f(x)是周期为T的周期函数，则f(x)=f(x+T)=(x+T)cos(x+T)=xcos(x+T)+Tcos(x+T)=xcosx。显然，只有T=0时，对任意x才能成立。故，y=xcosx不是周期函数。
函数周期是周期函数特有的概念,表示函数值随自变量重复出现的频次.如果T是周期函数的一个周期,那么kT（k为非零整数）也是函数周期,可见函数周期有无数个.不过在无数个周期值中一定存在一个最小正数,这个最小正数就叫最小正周期.一般地,如果函数i满足f(x+T)=f(x)（T≠0),就称该函数为周期函数且一个周期为T（要注意,不一定是最小正周期）.但有时表达周期函数时没有这么明朗,那就需要我们作出判断,以确定函数周期,比如：如果函数f(x)的图象同时关于两直线x=a和x=b（a≠b）对称,则函数f(x)为周期函数,且其一个周期为2b-2a如果函数f(x)的图象同时关于直线x=a和点（b,c）（a≠b）对称,则函数f(x)为周期函数,且其一个周期为4b-4a如果定义在R上的函数f(x)满足f(x)= – f(x+T/2)（T≠0）,那么函数f(x)是周期函数,且一个周期为T一个周期函数f(x)在进行一定的图形变换后,所构成的新函数F(x)仍然具有周期性
狄利函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。 显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。