已知和椭圆外一点 ，求 到椭圆上的点的最小（大）距离椭圆。
举个例子， 已知椭圆 ， ， 为椭圆上一点，求 的取值范围。
我在高中有一段时间做圆锥曲线大题很吃力，这是我在恶补圆锥曲线知识的时候想到的一个问题。。
想到这题时，我的第一反应是类比为点到圆距离的最值，所以感觉应该很简单。。
看起来真的很简单，感觉如果硬算不行，就用椭圆的参数方程嘛；如果椭圆的参数方程还不行，还可以找当以 为圆心的圆与椭圆相切时的切点 ，此时过 的切线和 垂直，可以列两条方程求解。
然后动手做才发现，无论是直接硬算，还是用椭圆的参数方程，还是求圆和椭圆的切点，全部化归为“四次方程求实数解”的问题。。。身为一个普通的高中生，我自然放弃了。
之后不久，我尝试在网络上寻找这个问题的答案，但并没有找到满意的答案。。。我发现关于这个问题的讨论寥寥无几，而大部分回答者给出的答案都是我开始的想法，很明显他们在给出解题思路前没有实际计算过，所以产生了想当然的状况。
如果你知道圆的标准参数方程，那么椭圆的标准参数方程也就顺理成章了。我们回顾：对单位圆： ，其标准参数方程为： 则对椭圆： 用变量替换（rescaling）： 可将其化作圆: 所以，我们有 ， 即得到椭圆的（标准）参数化： 你可能会问：那圆的标准参数方程 （1）又是如何来的呢？最直接的回答是：通过三角函数的定义：将圆周上的周期运动分解为 方向上的两个独立运动，即 和 ， 看作是时间参数。然后根据圆的定义知： 当然，对于单位圆，我们可以用如下代数方法获得其参数方程。对一曲线，为写出其参数方程，我们需要将变量 写出另一独立变量的函数。几何上，这意味着： 我们需要将给定曲线与只依赖于一个参数的一曲线族相交。当然最简单的曲线族是一直线族，其参数是斜率 。 简单起见，我们将单位圆与过原点的旋转曲线族 相交，得到： 上面的（3）即为圆的一种代数参数化，它与之前用三角函数的参数是等价的，即将 解释为 ，则有 注意到，上面的代数参数化有一曲线，即直线与圆交于两点，反应于平方根的正负两值，为消解这种歧义，我们选择更好的直线族用来参数化单位圆。比如，我们选择通过圆上某一定点的旋转直线族。我们选择通过圆上定点 的直线族： ，其与单位圆只交于除 外的一点。 将参数方程（4）用三角函数来解释（见上图）： ，由此（4）可写作： 此即著名的“万能变换”，它的本质是单位圆的有理参数化（因为能够写成参数 的有理函数）。当然，可以选择其它的定点，得到不同的有理参数化。可用有理参数化来求解下面丢番图方程的所有有理解，即下面方程所定义的代数曲线上的有理点。
椭圆方程x?a?y?b?1，设切点是(m，n)，则过该点的切线方程是mx/a?ny/b?1（半代入形式）
令此切线过已知定点，借助另一方程即(m，n)在椭圆上即可求出m、n的值，不过注意会有两解。
椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)
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扩展资料：
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。
设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知PF1+PF2=2a。