同角三角关系基本关系
倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1
商关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系: sin^2(α) cos^2(α)=1 1 tan^2(α)=sec^2(α) 1 cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对同条件常用两
sin^2(α) cos^2(α)=1 tan α *cot α=1
特殊公式
(sina sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a θ)*sin(a-θ)
证明:(sina sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a θ)*sin(a-θ)
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
1重心坐标公式。
Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
2。Cos2a=1-2Sin^2(a)
3。
Cos2a=2Cos^2(a)-1
即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))
和差化积
sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ =-[cos(α β)-cos(α-β)] /2
cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2
三角诱导公式(六公式)
公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα
公式二sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα
公式三 sin(π/2 α) = cosα cos(π/2 α) = -sinα
公式四sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα
公式五sin(π α) = -sinα cos(π α) = -cosα
公式六tanA= sinA/cosA tan(π/2 α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π α)=tanα
诱导公式记背诀窍:奇变偶变符号看象限。
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2α＋cos^2α＝1
1＋tan^2α＝sec^2α
1＋cot^2α＝csc^2α
·积的关系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α β γ)=sinα·cosβ·cosγ cosα·sinβ·cosγ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α β γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α β γ)=(tanα tanβ tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα Bcosα=(A² B²)^(1/2)sin(α t),其中
sint=B/(A² B²)^(1/2)
cost=A/(A² B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=(A² B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60 α)sin(60-α)
cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60 α)cos(60-α)
tan(3α)=tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a)
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1 cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1 cosα))=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²(α)=(1 cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²(α)=(1-cos(2α))/(1 cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1 tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1 tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα sinβ=2sin[(α β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα cosβ=2cos[(α β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1 cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1 sinα=(sinα/2 cosα/2)²
·其他：
sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0
cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及
sin²(α) sin²(α-2π/3) sin²(α 2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0
cosx cos2x 。
。。 cosnx= [sin(n 1)x sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx(cosx cos2x 。。。 cosnx)/2sinx
=[sin2x-0 sin3x-sinx sin4x-sin2x 。
。。 sinnx-sin(n-2)x sin(n 1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）
=[sin(n 1)x sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx sin2x 。
。。 sinnx= – [cos(n 1)x cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx sin2x 。。。 sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0 cos3x-cosx 。
。。 cosnx-cos(n-2)x cos(n 1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n 1)x cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
[编辑本段]三角函数的诱导公式
公式一：
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
[编辑本段]正余弦定理
正弦定理是指在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径)
余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2 c^2-2bc cosA
角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即sinA=角A的对边/斜边
斜边与邻边夹角a
sin=y/r
无论y>x或y≤x
无论a多大多小可以任意大小
正弦的最大值为1 最小值为-1
三角恒等式
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知(A B)=(π-C)
所以tan(A B)=tan(π-C)
则(tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC)
整理可得
tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:当α β γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα tanβ tanγ=tanαtanβtanγ
[编辑本段]部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix) e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix) ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)＝1＋z/1!＋z^2/2!＋z^3/3!＋z^4/4!＋…＋z^n/n!＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的
对于微分方程组 y=-y”;y=y””,有通解Q,可证明
Q=Asinx Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。
