超模君先说一下泰勒公式怎么来的arcsinx的泰勒，再简单讲讲它的现实应用。
泰勒公式根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶：
假设f1(x)=f(x)-f(a)
由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2
所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2
同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)
两边求导,f2′(x)=f，(x)-f，(x)-f”(x)(x-a)=-f”(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f”(a)(x-a)^2+C,C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f”(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。
另一种证明过程，先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+…+an(x-a)^n，然后从等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),…g…”(a)=f…”(a)……就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少。计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而QuakeIII的源代码中就对于此类的计算做了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这个过程对应于牛顿–莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
泰勒技术用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一种解决办法，高等数学之所以成为”高等”，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
直接把2ARCSINX 用泰式展开，然后把展开式中的所有X换成1即得。
如果计算麻烦，可以间接展开，如下：
－－－－－－－－－－
2arcsin（x）=2.定积分（上限X，下限0）（d-arcsinx/dx）dx
=2.定积（1/根号下1-x平方）dx
把括号里面的式子用泰勒公式展开成无穷级数
（因为手边没带资料，也没有笔，没法帮你算了，你自己用公式展吧）
展开后再对每一项幂函数积分。
最后把无穷项和中的X换成1，即得PI的展开式。。
－－－－－－－－
楼主也可以选用一个更好的函数，只要使涵数的自变量取某个值时，函数值为PI即可。
然后对函数进些上述处理。即得。。。
e的话更简单。。。选用e^x这个指数函数，用泰式展开，（有现成的展开式）再把X都换成1
－－－－－－－－－
我想到的方法就这样子的。。
记f(x)=(1-x)^(-1/2)
f'(x)=1/2*(1-x)^(-3/2), f'(0)=1/2
f”(x)=1/2*3/2*(1-x)^(-5/2), f”(0)=1*3/2^2
f”‘(x)=1/2*3/2*5/2*(1-x)^(-7/2), f”‘(0)=1*3*5/2^3
….
f^n(0)=(2n-1)!!/2^n, (2n-1)!!=1*3*5*…*(2n-1)为奇数的乘积
f(x)=f(0)+f'(0)x+f”(0)x^2/2!+…+f^n(0)x^n/n!+…
=1+x/2+1*3x^2/(2!*2^2)+….+(2n-1)!!*x^n/(n!*2^n)+…
则有：
求导：(arcsinx)’ =(1-x^2)^(-1/2)=1+x^2/2+1*3x^4/(2!*2^2)+….+(2n-1)!!*x^2n/(n!*2^n)+…
积分：arcsinx=x+1/6*x^3+3/40*x^5+….+(2n-1)!!x^(2n+1)/[n!*2^n* (2n+1)]+…