古希腊时阿基米德提出用圆的内接正多边形和外切正多边形双向逼近圆周（假设直径为1arctanx，则圆周长即为π），得到了π=3.141851；
中国古代则有魏晋时期刘徽提出“割圆术”，同样也是用内接正多边形来逼近圆周，并以此算到π=3.1416；
此后到了南北朝，祖冲之继承了刘徽的方法，算出了我们在历史书上都学过的3.1415926到3.1415927之间；可惜祖冲之所著的《缀术》一书已散佚不可考，只能猜测他用的方法应该更接近阿基米德的思路。
以上方法思路其实是一致的：都是从“圆”这个概念本身出发，用多边形来逼近圆周，算是微积分思想的粗略形态。
到了微积分尤其是无穷级数的理论建立之后，就可以直接通过构造无穷级数或者无穷乘积的方法来计算π，这时所构造的无穷级数或者无穷乘积可能就跟“圆”没什么直接关系了。
比如，最直观的，我们知道arctan 1=π/4，于是将arctan x展开为泰勒级数并令x=1，就可以得到：
π=4*(1-1/3+1/5-1/7+…)
只不过这个级数计算效率太低了，大概要算到几千阶，才能算到π的小数点后面第五位。
于是又有了更多进一步改进后、效率更高的公式，比如“梅钦公式”：
π/4=4arctan 1/5 – arctan 1/239
至于到了现代，计算机上还有更多高效率的算法，不过那毕竟已不是“纯粹”的数学范畴了。
麦克劳林公式:麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。
arctanx＝x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9+…+（-1）^(n+1)/(2n-1)*x^(2n-1)
使用条件：
①麦克劳林公式无论什么条件下都能使用，关键是展开的项数不能少于最低要求。x的趋向是要求的极限决定的，与展开式无关。
②注意是参与加减运算的两部分的极限必须都是存在的。这是由极限的四则混合运算规则决定的。
rctan(x) = x – (x^3)/3 + (x^5)/5 – (x^7)/7 +….
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+….
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+….(把-x^2带入第一个里面）
因为arctan的导数等于1/(1+x^2)
所以arctan的泰勒展开式是1-x^2+x^4-x^6+….的antiderivative，也就得到arctan(x) = x – (x^3)/3 + (x^5)/5 – (x^7)/7 +….
扩展资料：
泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
(arctanx)’=1/(1+x^2)=∑(-x^2)^n 【n从0到∞】=∑(-1)^n·x^(2n) 【n从0到∞】两边积分，得到arctanx=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1) 【n从0到∞】
1.1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+.1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+.(把-x^2带入第一个里面）因为arctan的导数等于1/(1+x^2),所以arctan的泰勒展开式是1-x^2+x^4-x^6+.的antiderivative,也就得到arctan(x) = x – (x^3)/3 + (x^5)/5 – (…
2.arctanx（x）＝x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9
tan（x）＝x+1/3*x^3+2/15*x^5+17/315*x^7+62/2835*x^9
泰勒展开式又叫幂级数展开法 f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f”(a)/2!*(x-a)2+…+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…… 实用幂级数： e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|
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