【题1】 已知F1，F2是双曲线4(x2)－y2＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )．
A．1 B．2(5) C．2 D．
A 解析：解法一：设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，[来源:学_科_网]
由双曲线的定义可知|d1－d2|＝4．又∠F1PF2＝90°，
于是有d1(2)＋d2(2)＝|F1F2|2＝20，
因此，＝2(1)d1d2＝4(1)(d1(2)＋d2(2)－|d1－d2|2)＝1．
解法二：由4(x2)－y2＝1，知|F1F2|＝2．
设P点的纵坐标为yP，由于∠F1PF2＝90°，则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2＋y2＝5上．[来源:学科网]
由x2－4y2＝4，(x2＋y2＝5，)消去x得|yP|＝5(5)．
故△F1PF2的面积S＝2(1)|F1F2|·|yP|＝1．
【题2】 已知有相同两焦点F1、F2的椭圆m(x2)＋y2＝1(m>1)和双曲线n(x2)－y2＝1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是( )
A．锐角 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m、n变化而变化
【解析】 ∵|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝±2，又m－1＝n＋1，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝4(m－1)＝|F1F2|2.
【答案】 B
【题3】 已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)，其焦点为F1、F2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长是( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
[答案] C
【题4】 已知双曲线9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
A．12 B．16 C．24 D．32
[答案] B
[解析] 由定义||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
∴|PF1||PF2|＝32，
∴S△PF1F2＝2(1)|PF1|·|PF2|＝16.
【题5】 已知双曲线C：9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．36 C．48 D．96
[答案] C
[解析] 依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于2(1)×16×2(16)＝48，选C.
【题6】 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )
A.2(3) B.2(6)
C. D.
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n，P(x，y)，|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得
(2)2＝m2＋n2－2mncos60°，
∴8＝(m－n)2＋mn.
∴mn＝4.
由△F1PF2的面积相等，得
2(1)×2×|y|＝2(1)mnsin60°，
即|y|＝2(1)×4×2(3).
∴|y|＝2(6).
即P到x轴的距离为2(6).
答案 B
【题7】 椭圆49(y2)＋24(x2)＝1与双曲线y2－24(x2)＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 ( )
A．48 B．24
C．24 D．12
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
||PF1|－|PF2||＝2，(|PF1|＋|PF2|＝14，)所以|PF2|＝6，(|PF1|＝8，)或|PF2|＝8.(|PF1|＝6，)
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
因此△PF1F2的面积S＝2(1)|PF1||PF2|＝2(1)×6×8＝24.
答案：B
【题8】 已知点P是双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2成立，则双曲线的离心率为( )
A．4 B．2(5) C．2 D．3(5)
【解析】 由S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2得，|PF1|＝|PF2|＋2(1)×2c，P是右支上的点，所以|PF1|＝|PF2|＋2a，即有2(1)×2c＝2a，e＝2，选C.
【答案】 C