平方和公式推导,自然数平方和公式如何推导

设S=1^2 2^2 …. n^2
(n 1)^3-n^3 = 3n^2 3n 1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2 3(n-1) 1
…
..
…
2^3-1^3 = 3*1^2 3*1 1
把上面n个式子相加得推导：(n 1)^3-1 = 3* [1^2 2^2 … n^2] 3*[1 2 …. n] n
所以S= (1/3)*[(n 1)^3-1-n-(1/2)*n(n 1)] = (1/6)n(n 1)(2n 1)

  1² 2² 。。。 n²=n(n 1)(2n 1)/6
用数学归纳法：
n=1时，1=1*2*3/6=1成立
假设n=k时也成立，那么k(k 1)(2k 1)/6=1² 2² 。。。
   k²
那么n=k 1
1² 2² 。。。 k² (k 1)²=k(k 1)(2k 1)/6 (k 1)²=k(k 1)(2k 1) 6(k 1)²/6
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)²=(k 1)(2k² k 6k 6)=(k 1)*(2k² 7k 6)=(k 1)(k 2)(2k 3)
=(k 1)((k 1) 1)(2(k 1) 1)
所以1² 2² 。
  。。 k² (k 1)²=k(k 1)(2k 1)/6 (k 1)²=k(k 1)(2k 1) 6(k 1)²/6
=（k 1)((k 1) 1)(2(k 1) 1)/6
即n=k 1时，也成立
所以
1² 2² 。
  。。 n²=n(n 1)(2n 1)/6
过程你自己写完整，也可以推导，但是过程有点复杂。