a+b =1 两边平方得 a^2+b^2+2ab = 1
解得 ab =-1/2 则 (ab)^2 = 1/4
(ab)^4 = 1/16
a^4+b^4 = 4-2(ab)^2 = 4-1/2 = 7/2
而 a^7+b^7 = (a+b)(a^7+b^7) = a^8+b^8 + ab^7+ba^7 = (a^8+b^8)+ab(a^6+b^6) = (a^4+b^4)^2-2(ab)^4+ab[(a^2+b^2)(a^4+b^4-(ab)^2)] = (7/2)^2 – 2*(1/16)+(-1/2)*[2*(7/2 – 1/4)] = 71/8
由a+b=1,a的平方+b的平方=2,有a*b=-1/2,
a的三+b的三次方＝(a+b)*(a的二次方+b的二次方-a*b)=5/2,
a的四次方+b的四次方＝（a的二次方+b的二次方）*(a的二次方+b的二次方a)-2*(a*b)的二次方=7/2
a的七次方+b的七次方=(a+b)*(a的六次方+b的六次方)－a*b*(a的五次方+b的五次方)＝(a的三次方+b的三次方)*(a的三次方+b的三次方)－2*(a*b)的三次方+（(a+b)*(a的四次方+b的四次方）－a*b*（a的三次方+b的三次方))/2=25/4+1/4+(49/4+5/4)/2=53/4
证明:
由a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd得:
(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^2)+2[(ab)^2-2abcd+(cd)^2]=0
即: (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
所以 a^2-b^2=0,c^2-d^2=0,ab-cd=0
因此 a=b=c=d.
注:应该补充a,b,c,d同号.否则有多种答案
例如: a=b=-c=-d;a=c=-b=-d……
由公式a+b≥2√(ab)可推知a^4+b^4+c^4+d^4≥4[(a^4)(b^4)(c^4)(d^4)]^(1/4)=4abcd,
当且仅当a=b=c=d时取“＝”a的三次方加b的三次方，
因为a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,
故a=b=c=d.
A^4+B^4+C^4+D^4=[A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+2(AB)^2+2(CD)^2
=[A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+2[(AB-CD)^2+2ABCD]
=[A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+4(AB-CD)^2+4ABCD；
因： A^4+B^4+C^4+D^4=4ABCD；
所以： [A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+4(AB-CD)^2=0；
也就是各平方项都必须=0；
显见： A=B=C=D； 证毕。
说明：A^2+B^2=(A^2-2AB+B^2)+2AB是常用的一个代数变换式，本题主要就利用了它。