a sinA + b cosA=√(a^2+b^2)sin(A+φ)辅助角，其中tan φ =b/a.
推导：a sinA + b cosA =√(a^2+b^2)[a/√(a^2+b^2) sinA +b/√(a^2+b^2) cosA]，由于[a/√(a^2+b^2)]^2+[b/√(a^2+b^2)]^2=1，不妨记a/√(a^2+b^2)=cos φ ，b/√(a^2+b^2)=sin φ，则由两角和的公式得a sinA + b cosA=√(a^2+b^2)sin(A+φ)，其中tan φ =b/a.
在二角和的公式中令两个角相等(B=A),就得到二倍角公式。sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB—>sin2A=2sinAcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB—>cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1。
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)—>tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]在余弦的二倍角公式中,解方程就得到半角公式。cosx=1-2[sin(x/2)]^2—>sin(x/2)=+’-√[(1-cosx)/2]符号由(x/2)的象限决定,下同。
cosx=2[cos(x/2)]^2—>cos(x/2)=+’-√[1+cosx)/2]两式的的两边分别相除,得到tan(x/2)=+’-√[(1-cosx)/(1+cosx)]。又tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=2[sin(x/2)]^2/[2sin(x/2)cos(x/2)]=(1-cosx)/sinx=。
=sinx/(1+cosx)。