答定详细步骤：
先求不定积分
∫√(x²+1) dx
=x√(x²+1) -∫ x d [ √(x²+1) ]
=x√(x²+1)- ∫ x *(1/2)*2x /√(x²+1) dx
=x√(x²+1) -∫ (x²+1-1) /√(x²+1) dx
=x√(x²+1) -∫ √(x²+1) dx+∫ 1/√(x²+1) dx
所以：
2∫ √(x²+1) dx=x√(x²+1) +∫ 1/√(x²+1) dx
=x√(x²+1)+ln [x+√(x²+1) ]
所以原定积分
=√2*√3+ln(√2+√3) -0-0
=√6+ln(√2+√3)
计算如下：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’（C‘为某个常数）。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由对称性，这两个积分应该相等。
只要算一个即可。
第一个=∫(0,π)ysiny· (-cosx)|(0,y) dy
=∫(0,π)ysiny· (-cosy+1) dy
=-∫（0，π）ysinycosydy+∫（0，π）ysinydy
=1/4 ∫（0，π）ydcos2y-∫（0，π）ydcosy
=1/4 ycos2y|(0,π)-1/4∫（0，π）cos2ydy -ycosy|（0，π）+∫（0，π）cosydy
=1/4 π -0- 1/8 sin2y|(0,π)-πcosπ+0+siny|(0,π)
=1/4 π +π
=5π/4
从而
原式=5π/4 ×2=5π/2