n=1时A1=80属于正吗,能被8整除。
假设Ak=5^k+2*3^(k-1)+1能被8整除,那么
A=5^(k+1)+2*3^k+1
=5[5^k+2*3^(k-1)+1]+2*3^k-10*3^(k-1)-4
=5[5^k+2*3^(k-1)+1]-4[3^(k-1)+1],
显然[3^(k-1)+1]能被2整除,
由归纳假设,A能被8整除。
综上,对任意正整数n,An能被8整除。
(i)当n=1时,an=5^1+2*3^0+1=5+2+1=8
所以,能够被8整除
(ii)假设当n=k(k≥2)时,ak能够被8整除
那么,ak=5^k+2*3^(k-1)+1=8m(m为整数)
===> 5*5^k+10*3^(k-1)+5=40m=8n(n为整数)
===> 5*5^k=8n-10*3^(k-1)-5
(iii)则,当n=k+1时:
a=5^(k+1)+2*3^k+1=5*5^k+6*3^(k-1)+1
=8n-4*3^(k-1)-4
=8n-4*[3^(k-1)+1]
因为3^(k-1)为奇数,那么3^(k-1)+1为偶数
那么,4*[3^(k-1)+1]一定是8的倍数
所以,a能够被8整除
综上:an=5^n+2*3^(n-1)+1能够被8整除。
an=5^n+2*3^n-1被8整除;
a(n+1)=5*5^n+2*3*3^n-1=5*[5^n+2*3^n-1]-4*3^n+4
=5an-4*(3^n-1);
5an,被8整除;
3^n 必为一个奇数,
3^n-1必为一个偶数,
4*(3^n-1)至少有4*2的约数,即,被8整除;
从而,a(n+1)= 8的整倍数,
正整数 开平方
由【S(n)=n*a+n(n-1)d/2=m,a=2r+1(r与n属于正整数),d=2】可知
m=n(2r+1)+n(n-1)=(n+r)^2-r^2。
对于正整数p和q,
①取 r=2pq,n=(p-q)^2,那么必有m=(p^2-q^2)^2;
②若0<q<p,则取 r=p^2-q^2,n=2q^2,那么必有m=(2pq)^2。
【注】这里本质上我们用的都是勾股数(2pq)^2+(p^2-q^2)^2=(p^2+q^2)^2。
楼主评论中的疑问,只要在我的②中取 p=g+h,q=h 就行。因为按题意只要写出【充分条件】,我省得写0<q<p的情况(即②)了。
S(n)=n*a+n(n-1)d/2=m,a=2r+1(r与n属于正整数),d=2
r与n取什么值可使m的开平方为正整数?
1+3+5+7+……+(2n-1)=n^2
1+3+5+7=4^2
1+3+5+7+9=5^2
(1+3+5+7+9)-(1+3+5+7)=5^2-4^2=3^2
∴r=4,n=1可使m的开平方为正整数.
此时:a=2*4+1=9
m=S(1)=1*9+1*(1-1)*2/2=9